Dilahirkan di Eibar, Gipuzkoa, Oyarzabal menyertai skuad persediaan remaja Real Sociedad pada tahun 2011, berusia 14 tahun.[2] Semasa masih muda, dia membuat debut seniornya dengan pasukan kedua pada 15 November 2014, muncul sebagai babak kedua pengganti dalam kemenangan 3-2 menentang SD Amorebieta untuk Segunda División B.[3]

Pada 20 September 2015, Oyarzabal menjaringkan gol senior pertamanya, menjaringkan dua gol dalam kemenangan 5-0 ke atas CD Mensajero.[4] Dia melakukan debut bagi pasukan pertamanya dan La Liga pada 25 Oktober, menggantikan Carlos Vela pada minit terakhir dalam kemenangan 4-0 ke atas Levante UD.[5]

Oyarzabal menjaringkan gol pertamanya untuk Real Sociedad pada 8 Februari 2016 dalam kemenangan 5-0 ke atas RCD Espanyol.[6] Enam hari kemudian , sejurus selepas memperpanjang kontraknya hingga 2021,[7] dia menjaringkan dua gol untuk membantu mengalahkan Granada CF 3-0 di Stadium Anoeta.[8]

Pada 19 Ogos 2016, Oyarzabal sekali lagi memperbaharui kontraknya sehingga 2022.[9] Dia tampil dalam semua 38 perlawanan liga yang terdapat di dalam musim,[10] ketika pasukan yang berpangkalan di San Sebastián tersebut menduduki tempat keenam dan kembali ke Liga Europa UEFA setelah dua tahun tidak layak.

Oyarzabal membuat penampilan sulung di Eropah pada 19 Oktober 2017, menjaringkan gol dalam kemenangan 6-0 di Macedonia, menentang FK Vardar di peringkat kumpulan Liga Europa;[11] pasukannya berjaya ke pusingan 32 terakhir, dengan dia menjaringkan gol sendiri dalam agregat 4–3 kekalahan kepada FC Red Bull Salzburg;[12] Pada peringkat domestik, dia menjaringkan 12 gol,[13] termasuk dua dalam kemenangan 5-0 menentang Girona FC pada 8 April 2018.[14]

Pada 5 Oktober 2018, Oyarzabal menjaringkan gol pertamanya sejak Mei tahun itu, dua penalti dalam kemenangan 3-1 ke atas Athletic Bilbao di basque derby.[15] Athletic Bilbao telah cuba menandatanganinya jendela perpindahan musim panas, tetapi dia telah menolak pendekatan mereka tetapi menandatangani kontrak baru dengan Real Sociedad sehingga 2024.[16]

Pada Copa del Rey 2019-20, Oyarzabal menjaringkan penalti di kedua-dua leg dengan keputusan agregat 3–1 CD Mirandés ketika pasukannya mencapai final untuk pertama kalinya sejak 1988.[17] Pada 10 Julai tahun itu, dia mencapai gol ke-50 untuk kelab itu dalam kekalahan 3-2 di rumah menentang Granada,[18] dan pada 3 Oktober semasa dia masih 23 tahun, menjaringkan penalti dalam perlawanan ke-200 dalam kemenangan 3-0 ke atas Getafe CF.[19]

Pada 3 April 2021, Oyarzabal menjaringkan satu-satunya gol di dalam Final Copa del Rey 2020 yang tertunda, juga melalui penalti, untuk membantu Real Sociedad meraih trofi pertama dalam 34 tahun setelah menewaskan Athletic Bilbao.[20][21]